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20220216

Posted by 0xmc on February 16, 2022
首先建设股票的价格为$S$遵循几何布朗运动,则有$\frac{dS}{S}=r dt+v dB_t$ 或者$dS=r Sdt+v SdB_t$,其中r为无风险利率,v为波动率。 $dS·dS=r^2S^2(dt)^2+2rvS^2dB_tdt+v^2S^2(dB_t)^2$ 将以下公式带入上式子 $dB(t)dB(t)=dt$ $dt dB(t)=0$ $dt dt=0$ 得: $dS·dS=v^2S^2(dB_t)^2$ 由于股票遵循几何布朗运动,我们把$S^p$当做关于S的函数,使用伊藤公式进行类似微分操作可得: $dS^p=pS^{p-1}dS+\frac12p(p-1)S^{p-2}dS·dS=pS^{p-1}dS+\frac12p(p-1)S^{p-2}(v S)^2dt$ 等号右边提出$S^p$得到下面式子: